五千年(敝帚自珍)

主题:【原创】上帝之书 -- 我爱莫扎特

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家园 欧几里得公理体系

首先第一条:欧几里得的公理体系远远称不上严密,用服装来比喻的话,连渔网装都算不上,最多也就是条丁字裤,基本上什么都没包住。

1. 在欧氏体系中缺少关于存在性的公理,于是连“存在一个点”这种简单到极点的命题都无法证明,也就是说,欧氏体系有可能在放空炮,讨论些类似于上帝的老婆长什么样之类的问题。

2. 欧氏体系缺少关于顺序的公理,所谓顺序,就是一条直线上三个点之间的位置关系,直观上看一条直线上任取三点必定有且仅有一点在其它两点之间。还有就是平面顺序公理,一般陈述为:直线a在平面ABC上,但不过A,B,C任一点,若a与线段AB相交,则a必与AC或者BC相交。缺少顺序公理导致一个著名的悖论:任意三角形都是等边三角形。

3. 欧氏体系缺少线段、角相等的公理。在不同位置的线段或者角怎么样才算相等,欧几里得借助于直觉。

4. 欧氏体系缺少关于空间维数的公理。

5. 欧氏体系缺少完备性公理。这样你就无法证明100度角的存在性。

关于改变一些公理得到新几何的尝试当然有了,比方说改变平行公理,就得到罗氏几何(不能直接得到黎曼球面几何,原因是球面几何的顺序公理不太一样,一个圆上的三点中的任一点都在其余两点之间);改变完备性公理是最简单的,得到不完全的欧氏几何,研究对象只是欧氏空间的一部分;改变阿基米德公理得到非阿基米德几何。(阿基米德公理:设AB,CD为任意非零线段,则存在自然数n使得n AB>CD。)

公理体系并没有规定自己的适用对象,比方说,它并没有规定什么叫点,什么叫线,什么叫相交,你要把点理解成地球上的人,线理解成人与人之间的关系,这也不是不可以,如果经过检验你选的那些关系满足公理,那么一条几何定理就可以解释成人际关系中的相应定理。所谓“欧氏几何和我们日常经验相符”必须通过对对象的阐释实现,

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