主题：阿波罗尼奥斯问题-Prob. of Apollonius -- 理性网民

问题：给定点A、直线l、圆C，找出过点A并与直线l、圆C相切的圆（如图）。

解：过圆C圆心做直线与l垂直，并与圆C相交于O、P两点，与直线l相交于Q点。过A、P、Q三点做圆D，与O、A两点连线相交于R点。那么所求圆必通过R点，可以采用PPL问题的解法（或者PPC问题的解法）。

证明：采用PPL解法，假设所作圆与直线l相切于T点。连接O、T两点，与所作圆相交于S点，与圆C相交于S′点。A、R、S、T四点共圆，故|OA|×|OR| = |OS|×|OT|（等式1）。A、R、P、Q四点共圆，故|OA|×|OR| = |OP|×|OQ|（等式2）。连接P、S′两点，则S′在以OP为直径的圆C上，故∠OS′P = 90°。又OQ所在直线与l垂直，故∠OQT = 90°。综合以上可得三角形OPS′与三角形OTQ相似，故|OP|/|OS′| = |OT|/|OQ|，或者说|OP|×|OQ| = |OS′|×|OT|（等式3）。综合等式1、2、3可得|OS|×|OT| = |OS′|×|OT|。故|OS| = |OS′|，也就是说S与S′重合。这样我们证明了所求圆与圆C有一个交点。假设所求圆与圆C有另一个交点S″，那么连接OS″，可以采用类似的方法证明OS″所在直线经过l与所求圆的交点。这与l与所求圆相切矛盾。故所求圆与圆C相切与S点。

分析：在上面的分析中，O点可以位于远离l的一侧，相应的PPL问题最多有两个解。类似的，O点可以位于靠近l的一侧，相应最多可以得到另两个解。这样PLC问题最多有四个解。

评论：如果以O点为反演中心，|OS|×|OT|为变换常数，那么在变换前后圆C与直线l互换，所求圆保持不变。如果我们把直线l看成半径无限大的圆，PLC问题与PCC问题一模一样。