主题：阿波罗尼奥斯问题-Prob. of Apollonius -- 理性网民

令给定点A的坐标为(xA, yA)，给定圆圆心B、C的坐标分别为(xB, yB)、(xC, yC)，半径分别为rB、rC。假设所求圆圆心为(x, y)，半径为r。那么PCC问题等价于求解如下非线性方程组。其中xA、yA、xB、yB、xC、yC、rB、rC为已知量，x、y、r为未知量。

方程组（6.1）的第一式要求点A在所求圆上。第二式要求圆B与所求圆相切。第三式要求圆C与所求圆相切。由于两个圆可以外切也可以内切，第二式、第三式右侧可以取正号也可以取负号。

为了求解方程组（6.1），用第一式减去第二式，且用第一式减去第三式。考虑到第二式、第三式的正负号问题，令r可以取正值也可以取负值。这样可以得到如下等价方程组

方程组（6.2）的第二式要求所求圆圆心位于与线段AB垂直的某条直线上。第三式要求所求圆圆心位于与线段AC垂直的某条直线上。

方程组（6.2）的后两式可将x和y表示成为r的函数。将r当作已知，行列式det(A)可以用于判断方程是否有解。

当det(A)为零时，A、B、C三点共线。为使方程组有解，方程组（6.2）后两式的系数必须成比例。定义

相应的r值为

得到r值以后，x和y值可以根据方程组（6.2）的前两式求出。考虑到rB、rC的大小，当det(A)为零时，PCC问题可以有四个解、三个解、或者两个解。

当det(A)不为零时，令

x和y可以表示成为r的函数。

其中E点(xE, yE)满足如下方程

其中dAB为A、B两点的距离，而dAC为A、C两点之间的距离。向量(kx, ky)满足如下方程

将式（6.7）代入方程组（6.2）的第一式，可以得到r需要满足的方程，其可以变换成如下一元二次方程形式。

当点A在圆B与圆C的公切线上时，式（6.10）二次项系数为零（见【补充】），r有一个实数解。当点A不在圆B与圆C的公切线上时，式（6.10）判别式为

r的解的个数取决于Δ/4的符号。可以证明（见【补充】）式（6.11）判别式Δ的符号与Λ的符号相同，且

根据A点与圆B的相对位置，A点与圆C的相对位置，圆B与圆C的相对位置，r可以有两个解、一个解、或者没有解。考虑到rC的正负号的取法，PCC问题可以有四个解、三个解、两个解、一个解、或者没有解。