主题：阿波罗尼奥斯问题-Prob. of Apollonius -- 理性网民

问题：给定直线l、m、n，找出与l、m、n同时相切的圆（如图）。

解：过直线l、n交点A做角平分线a。过直线l、m交点B做角平分线b。直线a、b相交于O点。过O点做直线c垂直于n，且垂足为P点。以O点为圆心，|OP|为半径做圆，即为所求。

证明：角平分线上的点到两直线的距离相等，故O点到l的距离等于O点到n的距离，且O点到m的距离等于O点到l的距离，且都为|OP|。故以O点为圆心、|OP|为半径的圆与l、m、n同时相切。

分析：在上面的求解中，当三条直线两两相交时，过A点和B点可以分别做两条角平分线，它们的交点都可以做所求圆的圆心，此时LLL问题有四个解。当三条直线中两条直线平行时，LLL问题有两个解。当三条直线相交于同一点时，或者三条直线互相平行时，LLL问题没有解。

评论：LLL问题是阿波罗尼奥斯问题中特殊的一个。通常的解法并不需要将其转化为PPP问题求解。不过下面可以提供另一种思路，将其转化成PPP问题求解。令l与n交点为A、l与m交点为B、m与n交点为C。以A点为圆心、(|AB|+|AC|−|BC|)/2为半径做圆与l、n分别相交于P、Q两点。类似地，以B点为圆心、(|AB|+|BC|−|AC|)/2为半径做圆与m交于R点。过P、Q、R三点做圆（PPP问题），即为所求。可以证明，P、Q、R三点即为所求圆与l、m、n的切点，且|AP| = |AQ|，|BP| = |BR|，|CQ| = |CR|。