主题：在一个园上任点三点,求为锐角三角形的概率 -- 大明湖
家园 你可能没有仔细看我的证明过程 我的证明里面，角的概率实际上是转化成面内点的概率的，并假定面内点是均匀分布的，这与园周上点均匀分布假定在数学上没有本质区别。
角的随机分布实际上就是面内点的随机分布，你不妨再仔细想一想解析几何。
你的疑惑可能是对计算几何概率时候均匀分布假定可以不唯一的疑惑，这也是为什么有些人不承认几何概率的原因。
家园 我又看了2遍您的证明，并没有说明为什么点的分布与角的分布是一致的 而且，您证明的命题是：
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这个是不爱吱声给出的另外的解法
实际上，任何一个三角形都有一个外接圆；圆上任三点都可以组成三角形。那就意味着，原题目可以修改为在平面内任何画一个三角形，其中画出锐角三角形的概率是多少？
于是，这个问题原来是可以脱离圆来考虑的。因此，还有一个求解方法是：仅仅利用三角内角之间的关系来求解，而不需要圆的存在。
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我在前贴中所说的正方形区域，和长方形区域都是面的概念，这题的源头－“圆周”是线上的概念
家园 几何概率计算并不用分“线的概念”还是“面的概念的” 只要点均匀分布假定合理就行，“线上均匀分布”与“面上均匀分布”并无不同。
平面内角的分布与平面内点的分布也是等价的。
我证明出来，平面内划任意三角形中锐角概率是1/4，自然证明出来任意园周上画任意三角形中锐角概率是1/4。因为任意园周上所画任意三角形与平面内所划任意三角形一一对应。
家园 这可不一定 只要点均匀分布假定合理就行，“线上均匀分布”与“面上均匀分布”并无不同。
平面内角的分布与平面内点的分布也是等价的。
－－－－－－－－－－－－－为何？
我证明出来，平面内划任意三角形中锐角概率是1/4，自然证明出来任意园周上画任意三角形中锐角概率是1/4。因为任意园周上所画任意三角形与平面内所划任意三角形一一对应。
－－－－－－－－－－－－－在特定平面上的概率就不一定
当然，就圆周的这一题来说，可能结果是1/4，但是延伸到平面的话，您的证明不太严密。
- 复 这可不一定
家园 这是几何概率不够严谨的地方，贝特兰的概率悖论可以说明此问题 只要点均匀分布假定合理就行，“线上均匀分布”与“面上均匀分布”并无不同。这是几何概率不够严谨的地方，贝特兰的概率悖论可以说明此问题。因此有些数学家反对几何概率的存在。
平面内角的分布与平面内点的分布也是等价的。这句话是根据我的原证明说的，特殊所指，并非普遍原理。实际上严谨点说应该是：角的均匀分布与数轴上点的均匀分布等价。而我的证明里，由于有两个角，因此两个角的数值分布状态就可以等同于面内点数值分布状态，类似的，三个角的数值分布状态就可以等同于体内点数值分布状态，以此类推，这是解析几何的概念。在特定平面上的概率就不一定严谨来说，这句话是正确的，我说的那句话在非欧几何中并不成立。但这与我们讨论的问题无关。因为问题本身就是在欧式几何范围内进行讨论的。因此说来，在欧式几何范围内，我没有发现我的证明中不严密的地方。
家园 提到几何概率，要在有限区域内 几何概率的定义：
向一个有限区域Ω中任意投掷一质点，假定随机点落入该区域的任一小区域A的可能性与小区域A的测度（可以是长度、面积或体积等）成正比，而与A的位置与形状无关，称这种随机实验为几何概型。
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可见，提到几何概率，要在有限区域内。
事实上，只要您计算正方形和长宽比为1：3的长方形中的随机三点组成△的概率就不一样。
家园 我的证明中用到点均匀分布假设正是在有限区域呀 我的点均匀分布假设是作用在两直角边为pi/2（or pi)的等腰三角形这个有限区域。
角在平面的分布状态映射成等腰三角形这个有限区间的点的分布状态。
有限区域指的是均匀分布假设作用的区域，不是问题提出的区域。
- 复 有问题
家园 有道理，我的证明不严密。
家园 这个帖子下面还有一些讨论，连接在这里 家园 概率应该是3/4. 假如点在圆周上均匀分布的话,锐角三角形的概率应该是3/4.
假设圆周长为1个单位,先找到第一点A.再找第二点B,假定的位置离开第一点弧长是x,(或者说是1-x,那是从另外的方向绕过来的).根据假设, x 在1和0之间均匀分布.
下面要看第三个点C了.第三在哪里才能使三角形是锐角呢?要区分两个区间.当x在0-0.5之间的时候,假如C点落在比较短的AB弧上,那么就得到钝角三角形,否则就是锐角三角形.所以,x在[0-0.5]这个区间,是锐角三角形的概率是(1-x). 同理,x在[0.5-1]这个区间,该三角形为锐角三角形的概率是x.对这个涵数在[0-1]区间取积分,就得到了3/4.
家园 1/4, 经过Monte Carlo 验证了(点在圆周上均匀)
