主题：在一个园上任点三点,求为锐角三角形的概率 -- 大明湖
家园 答案：1/2 圆上第一点是任意的，圆心为原点，第一点方向为X轴，
圆上第二点的角度为A,
A在[0,180]和[180,360]的概率各1/2
A[0,180]时，第3点能构成锐角三角形时角度需在[A,360],概率＝1/2*((360-A)/360)
[180,360]时，第3点能构成锐角三角形时角度需在[0,A],概率＝1/2*(A/360)
两者相加＝1/2
- 复 呵呵，重在参与
家园 这个解法好 俺自己想错了。受教。
家园 今天中午俺吃了pizza 然后俺忽然想到了这道题。
什么是锐角3角型，那就是3点不在同1半圆内，而钝角是在同1半圆内。几何证明从略。
而第1点的选取可以随意。然后俺们以这点的直径把圆1切2。所以该命题可以转化成剩下的2个点落在不同半圆里概率。
所以，俺认为，答案应该是1/2。
家园 为了大家看贴方便，将在新兵营谈论的其他解法贴到这里 这个是CatOH提出的解法：
这题基本的假设是每一点在圆周上的概率分布均匀，如果没有这个基础就成了不爱吱声提到的贝特兰的概率悖论。画一个单位圆，因为均匀分布，取第一点为（1，0）总是可以的，y轴与x轴垂直，取在第二点与第一点构成的劣弧a那一边（如果第一点第二点正好构成直径，那么y的上下方向就任意取，而且这种情况的概率为0，其实可以忽略），那么第二点对应的圆心角设为theta，可知theta<=pi。而且第二点的theta均匀分布。
过第一点与第二点作两条直径将单位圆分为四分，只有当第三点落在前面提到的劣弧a对面等长的劣弧b上时，三点才可能构成锐角三角形，这个概率是theta/(2pi)。
因为第二点theta均匀分布，所以构成锐角三角形的概率是:
{0-pi的积分[theta/(2pi) * d(theta)]}/pi
=1/4
这个是不爱吱声给出的另外的解法
实际上，任何一个三角形都有一个外接圆；圆上任三点都可以组成三角形。那就意味着，原题目可以修改为在平面内任何画一个三角形，其中画出锐角三角形的概率是多少？于是，这个问题原来是可以脱离圆来考虑的。因此，还有一个求解方法是：仅仅利用三角内角之间的关系来求解，而不需要圆的存在。
设任意三角形三个内角角度为x,y,180-x-y,对于任意三角形，我们有：
0<x<180; 0<y<180; 0<x+y<180 （1）
对于锐角三角形，我们有：
0<x<90; 0<y<90; 90<x+y<180 （2）
用解析几何的方式，我们可以将x,y看成是两个坐标，第一个不等式组在x,y坐标空间上围出一个等腰直角三角形区域，两个直角边长为180；同理第二个不等式组在x,y坐标空间上也围出一个小一点的等腰直角三角形区域，两个直角边长为90。如果我们假设x,y的值在坐标空间是均匀分布的话，你会发现，第二个不等式组围出一个小三角形的面积正好是第一个不等式组围出一个大三角形的面积的1/4。
目前来看，这个题目有确定的答案是1/4。大家看看还能不能找到其他解法。
家园 我原来认为是1/4，现在认为是1/2 理由如下：
首先假设点在圆周上的分布是随机均匀的。圆的周长为L，三点分别为A、B、C，三点不会重合。那么三角形ABC中，取A点把圆周展开成一数轴，
①当B点落在（0,0.5L）之间时，若C点也落在（0,0.5L）之间，这时是钝角三角形；若C点落在（0.5L，L）之间，这时是锐角三角形；若C点落在0.5L点，这时是直角三角形。
②当B点落在0.5L点上时，不管C点落在那里，都是直角三角形。
③当B点落在（0.5L，L）之间时，若C点落在（0,0.5L）之间，这时是锐角三角形；若C点落在（0.5L，L）之间，这时是钝角三角形；若C点落在0.5L点，这时是直角三角形。
综上，锐角三角形的概率为：0.5*0.5+0.5*0.5＝0.5
直角三角形的概率为0
钝角△的概率为0.5*0.5+0.5*0.5＝0.5（方法二：1－0.5＝0.5）
用几何概率方法，直角△因为要落在一点上，概率为0。
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之前我认为是1/4，是以为在③中，C点总是在B点之后，即c点落在（B,L）之间，这样就总是钝角△。然而C点是可能落在（0，0.5L）之间的，即可能是锐角△。