主题：【文摘】一道有趣的概率题 -- 天下第一银杏树
家园 【文摘】一道有趣的概率题 hehe, 我们宿舍当时为它吵翻了天
美国的“玛利亚幸运抢答”电台一日公布了这样一道题：在三扇门背后（比如说1号、2号及3号）藏了两只羊与一辆小汽车，如果你猜对了藏汽车的门，则汽车就是你的。现在先让你选择，比方说你选择了1号门。然后主持人打开了一扇门，让你看清楚这扇门背后是只羊，接着问你是否应该重新选择，以增大猜对汽车的概率？
谁能给出回答呢？一号门背后是汽车的概率变了吗？
关键词(Tags): #概率，
本帖一共被 1 帖 引用 (帖内工具实现)家园 这个几年前第一次在<读者文摘>上看到的 没想到能"招摇撞骗"这么多年.
家园 换一种说法就可以凭直觉想清楚了 如果理解为主持人知道哪扇门里有车，然后打开一扇有羊的门，把这个问题推向极端：
有10000扇门，里面有1辆车和9999头羊，你随便指定一扇（车的概率1/10000）。然后主持人打开剩下9999扇中有羊的9998扇，你换还是不换？
如果还不清楚，把它改得更加极端：
有无穷扇门，里面有1辆车和无穷的羊，你随便指定一扇（车的概率是0）。然后主持人打开无穷扇有羊的门，剩下一扇门没有打开，换还是不换？
呵呵，这下就显然要换了
本帖一共被 1 帖 引用 (帖内工具实现)家园 这是个老问题了， 答案是换，重选是2选一的几率从1/3上升到1/2。
不换的话还是3选1的结果，1/3的几率不会变。
家园 同这个问题类似的是“三个囚犯的问题” 解决的关键都是正确定义Event Space，并且正确使用条件概率的定义。
三个囚犯，Alan, Bernard, Charles。Alan知道他们中的两个会被处决，另一个会被释放。每个人被释放的概率都是三分之一。
Alan对监狱官说：“既然Bernard和Charles中至少有一个一定会被处决，如果你告诉我他们两个人中会被处决的一个名字，你没有告诉我任何信息。”监狱官认为Alan说的有道理，就告诉他Bernard会被处决。
Alan听到后心中暗喜，自己骗过了监狱官。在监狱官回答他的问题之前，他获释的可能是三分之一。现在他和Charlie中必有一个人获释，他获释的可能提高到了二分之一。
Alan的两个argument不可能都正确，哪个出了问题？
答案见
D.V.Lindley (1986) "Making Decisions" 41-44
家园 Alan的第二个argument错了 诚然，他和Charlie中必有一个人获释，但是并不意味着他们两人获释概率相等。
他获释的可能仍然是三分之一，而Charlie获释的可能提高到了三分之二。
。
家园 改正为: 同意 - 复 改正为: 同意
家园 hiahia,反对！ 银杏树说明了2nd argument有问题，你说明了1st argument有问题。但是第一个有问题不表示第二个就没问题啊，你为啥要反对银杏树呢？至少没给出反对的理由。
家园 三个囚犯的问题的详细解答 让我们罗列一下几个基本事件的概率, 见下表:
|监狱官答:B死 | 答:C死
----------------------------
A活 | 1/6 | 1/6
B活 | 0 | 1/3
C活 | 1/3 | 0
----------------------------
解释如下:
若A活(1/3概率), 则B和C都要死, 故而监狱官的回答既可能是B也可能是C, 所以这俩事件的概率均为1/6.
若B活(1/3概率), 则A和C都要死, 故而监狱官给A的回答只能是C, 所以这个事件的概率为1/3.
若C活(1/3概率), 推理类上, 监狱官答道B死的概率为1/3.
所以 P{监狱官答道B死} = 1/6 + 1/3 = 1/2
于是 P{A活|监狱官答道B死}
= P{A活 并且 监狱官答道B死}/P{监狱官答道B死}
= (1/6) / (1/2)
= 1/3
保持不变.
P{C活|监狱官答道B死} = (1/3)/(1/2) = 2/3
变大了.
家园 嘿嘿，不急，还没完，继续深挖 这题和下面的一样，在根基上有不少问题，不打牢的话，用小指头轻轻一戳，上层建筑就会摇晃。所以，还要继续刨根问底。科学就是这么进步的。
来看你的这句话：
若A活(1/3概率), 则B和C都要死, 故而监狱官的回答既可能是B也可能是C, 所以这俩事件的概率均为1/6.监狱官答B或答C的总概率为1/3，这是不错，但它们为什么就必须是等概率？有依据么？没有吧，这个是假设，虽然是个很合理的假设。但要是监狱官就是特别变态，他和B有仇，假如B和C都要死，他就只会告诉你B死，这种情况又当如何？结果全都变了吧？
下面的题也有类似的问题。
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家园 俺正要改贴子, 计算出错了, 同意银杏树的答案. 小筑好快的贴
家园 American Statistician有一篇文章专门讨论这个问题 Morgan, J.P, N.R. Chaganty, R.C. Dahiga and M.J. Doviak (1991) "Let's make a deal: The Player's Dilemma" American Statistician 45:284-289
家园 高人啊！您是Stanford统计系的吧？：）
家园 无所谓，几率是一样的 不重新选：几率是1/3
重新选：1、原来选中汽车，则重新选后，选中汽车概率：1/3 * 0 =0;
2、原来没有选中汽车，则重新选后，选中汽车概率：2/3 * 1/2 =1/3
所以重新选后选中汽车的概率： 0＋1/3 = 1/3
所以是一样的，没有变化。
家园 I disagree 重新选：1. ...2、原来没有选中汽车，则重新选后，选中汽车概率：2/3 * 1/2 =1/3
If you picked a goat, then the other two doors have to be a goat and a car. The host would ALWAYS show you a goat, and therefore the only remaining door has got to be a car. Thus, if you switch, you are guaranteed to pick the car. Therefore, in this case, the 概率 equals 2/3 * 1 = 2/3, rather than 1/3.