主题:【讨论】【分享】动脑筋消遣 -- 侯登科
再看了一遍题, 明确指出了是后者. 以前讨论的好象主持人事先知道.
应该换.
24小时内给同一个人送花的上限为6!
假设三人命中率为P1,P2,P3, P1<P2<P3。
三人俱存时,若轮到3号开枪,那么他应射2号,因为希望剩下的是威胁较小的那个敌人。
于是,三人俱存时,若轮到2号开枪,那么他应射3号,因为3号是首要的敌人。
(一)如果1号不作为,那么结果就是2号和3号轮番对射,直到一人死亡为止。这时,1号与那个存活的枪手对决,但开枪权是在1号手里。
2、3对决,2号首发,2的胜率为 Pw23 = P2/(P3 + P2 - P3 P2)
1、2对决,1号首发,1的胜率为 Pw12 = P1/(P1 + P2 - P1 P2)
1、3对决,1号首发,1的胜率为 Pw13 = P1/(P1 + P3 - P1 P3)
【符号Pwij代表:i与j对决,在i首发的情况下,i的胜率。】
所以1的胜率为:Pa = Pw23 Pw12 + (1-Pw23)Pw13
(二A)如果1号射死了2号,那么剩下是1号与3号对决,3号有首发权。【最糟糕,不予考虑】
(二B)如果1号射死了3号,那么剩下是1号与2号对决,2号有首发权。
2号获胜概率为 Pw21 = P2/(P1 + P2 - P1 P2)。
所以1号获胜概率为 Pb = 1-Pw21。
可以证明,Pa > Pb.
所以,1号的最佳策略是:朝天开枪,直到2和3决出胜负为止。
四人命中率为P1,P2,P3,P4, P1<P2<P3<P4.
4号射死一人后,就简化为三人问题,1号首发。在这个三人问题中,对最高手而言,剩下的二人的命中率越小,就越安全,因为我是先和2号对决,再与1号对决,循序而行。所以,他们各人的命中率越小,那么我的胜率就越大。
所以,4号应该射3号。
于是,若四人共存,轮到3号开枪,就应该射4号。
2号选手应该怎么办呢?
喝口水先……
要证明 Pa = Pw23 Pw12 + (1-Pw23)Pw13 > Pb = 1-Pw21 = 1-P2/(P1 + P2 - P1 P2)。
对于固定的P1和P2,我们研究P3的取值范围∈(P2,1],看看P3的取值对于不等式的左边有什么影响?
首先注意到Pa是两项的加权平均——是Pw12与Pw13这两项的加权平均,权重因子分别为Pw23与(1-Pw23)。
当P3增大,Pw23就减小(直观而言,2对3的决斗胜率,随着3的准头的增加而减小),Pw13也减小。
若Pw23减小,那就是说在Pa中,Pw12所占的权重(Pw23)会减小;而Pw13所占的权重(1-Pw23)会增大。
由于P3>P2,所以Pw13<Pw12(直观而言,都是在1首发的情况下,1对3的决斗胜率,比1对2的决斗胜率小)。
所以最终的结果是:Pa在减小(因为两项的平均值中,小的那项变小,而且其所占的份额还变大,于是把总的均值愈加拉小了)。
所以左端的下限在P3=1时达到,为:
Pa1 = P2 Pw12 + (1-P2)P1。(当P3=1时,Pw23=P2;Pw13=P1。)
下面要证的是:Pa1 > Pb。
喝口水先……
抱歉!题目陈述的不严谨不清楚,我原先也不知道有这么多道道,可是这样一来讨论更有趣不是。
我不是专业的,做不了主,下面是我所知的全部。
(1)如果有规定主持人必须打开石头盒,应该换,这样总体得金率2/3。不换的理由是相信初选是正确的,但初选错误的可能性,是初选正确的2倍。如果主持人也是随机盲目开盒(就是说总体有1/3可能开到金条,但眼前这一次独立事件的结果是石头),换不换总体得金率相同。以上两个情况用扑克牌模拟就可以大概验证。
主持人是否知情,有什么规定,这些因素对玩者来说可能带有确定性/随机性/欺骗性。更多分析请参考煮酒的贴子,谢老马丁的提醒。
(2)可以朝天开枪很可能是我自己瞎加进去的,真记不起来源,更不知道详细解答。“可以朝天开枪”令“最佳结局”的定义很有毛病,这样一来,电子赵括的推断也很合理而且成立。其它请参考衲子的分析和计算,谢谢衲子。
是的。我来只想着决斗目的是消灭敌人保存自己。为了抢美人问题就不一样了。
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改错:两种情况都是改选机会翻1倍。(可能越改越错)
要证:Pa1 > Pb
即:P2 Pw12 + (1-P2)P1 > 1 - Pw21
即:P2 P1/(P1 + P2 - P1 P2) +(1-P2)P1 > 1 - P2/(P1 + P2 - P1 P2) = P1(1 - P2)/(P1 + P2 - P1 P2)
两边消去P1, 得:
P2/(P1 + P2 - P1 P2) + 1-P2 > (1-P2)/(P1 + P2 - P1 P2)
令 A = P1 + P2 - P1 P2,移项至左,提取(1-P2)的公因子:
P2/A + (1-P2)(1-1/A) > 0
因为 A > 0,不等式两边可同乘A:
P2 + (1-P2)(A-1) > 0
注意A的系数(1-P2)为正,于是当A取最小值时,不等式左端亦取最小值。
而 A = P1(1-P2) + P2, 其中,P1的系数是(1-P2)>0, 所以,当P1=0时,A取最小值,P2。
于是不等式变为:
P2 + (1-P2)(P2-1) > 0
即:
P2 - (1-P2)^2 > 0
此不等式不成立!譬如当P2=0.001时。
所以前面关于最佳策略的推导有误!
实际情况和具体概率值是有关系的,很复杂,很复杂!
当 P2 < (3-sqrt(5))/2,则有 P2 - (1-P2)^2 < 0,于是1号枪手宁可希望跟2号对决(由2号先开枪),也不愿等2号和3号决出胜负后,再跟胜者决斗(由1号先发)。
因为当P2很烂很烂,与P1差不多地烂,这时,1号与2号的对决,不管谁先开枪,都是50%的赢面。
而因为P2很烂很烂,所以他肯定输给3号,接下来1号与3号对决,即使由1号先发,胜率也是渺茫。
所以,1号应该每枪都打向3号,希望3号先完蛋,然后再与2号对决。
有4个盒子,1个有物3个空。
你初选一个,设为A,
然后主持人打开其他三个中的一个空盒子D,
然后再在剩余的两个盒子中随机打开一个C,发现是空的。
此时问,选A时有物的概率如何算?
花
当3个盒子的时候,如果主持人是随机的打开一个,发现是空盒子时,此时A有物的概率将改变。
那么为何在这里又不变呢?
我自己没想清楚,你能给以指点么?
具体思路回头再港
其实这个问题老兄不应再有任何怀疑,因为如果你学过 conditional probability 的话,推一下就明白了。现在关键的问题是如何用通俗易懂的思路来说服自己。就好比鸡兔同笼的问题,初一学生都能用代数方法得到正确结果,但如果用小学四则运算弄出来就比较有挑战性了