主题：阿波罗尼奥斯问题-Prob. of Apollonius -- 理性网民

问题：给定三个点A、B和C，找出过A、B、C三点的圆（如图）。

解：连接A和B得到线段l，做线段l的中垂线a。连接A和C得到线段m，做线段m的中垂线b。找到a和b的交点O，以O为圆心、|OA|为半径做圆即为所求。

证明：O在线段l的中垂线a上，所以|OA| = |OB|。O同时又在线段m的中垂线b上，所以|OA| = |OC|。那么|OA| = |OB| = |OC|，所以A、B、C三点在以O为圆心、|OA|为半径的圆上。

分析：两条直线a、b最多有一个交点，所以PPP问题最多有一个解。当a、b没有交点时，意味着a、b平行，那么A、B、C三点共线。这种情况下PPP问题无解。

评论：O同时也在以B、C为端点的线段BC的中垂线上。问题所求的圆是以A、B、C为顶点的三角形ABC的外接圆，因而O也是三角形ABC的外心。