主题：【原创】老马丁胡侃统计之二： 生活中的几个概率统计问题 -- 老马丁
家园 【原创】老马丁胡侃统计之二： 生活中的几个概率统计问题 咱先谈谈几个有意思的问题。（已经知道正确答案的先在边上歇歇，喝口茶，唱个歌啥的，好不？）
问题1：某中心城市大医院每年据说有一万五六的新生儿在那里出生。某县城医院也做接生的业务，每年据说有600多个孩子在那里来到人间。如果某一天接生的男孩数超过女孩，医院就记下这天。一年累计下来，请问，哪家医院的这个记录更有可能大一些？
（a）中心城市医院的记录大。
（b）县医院的记录大。
（c）两个医院的记录一样。
问题2：这是个综艺节目，你被选为嘉宾上台参与。你面前有三个一模一样的箱子，你被告知有个箱子里面有个十万美元的支票（或者2克拉钻石/保时捷的钥匙及行驶证，按自己喜好改……）。你选对了箱子，里面的东西就归你。游戏规则是是你先选好一个箱子，然后主持人（她知道哪个箱子里有宝）会打开一个你没选的空箱子给你看，然后你可以决定是换一个箱子，还是坚持你最早的选择。你决定后主持人会打开你最终选择的箱子，宣布结果。请问，那种决策让你赢的概率更大？
（a）换一个箱子
（b）坚持原来的选择
（c）上面两个赢的概率一样。
问题3：这还是个综艺节目，题面比上面的复杂（知道这个Deal/ No Deal节目的能看出来我的问题已经比真实的节目简化了）。你被选为嘉宾上台参与。你面前有10个一模一样的箱子并编号1到10。每个箱子里分别装着1块钱，5块，10块，100块，500块，1000块，5000块，1万块，5万块，10万块，没人知道几号箱子里装多少钱。游戏一开始你选一个箱子放自己手边，主持人会让你在剩下的九个箱子里选一个当众打开。然后会有个台外的银行家联系你，他会出钱买你的箱子。如果你决定接受他的出价，那么游戏结束，你就拿到他出的数目（真金白银）。如果你不接受，主持人会让你在剩下的8个箱子里再选一个当众打开。然后银行家会出一个新数目，你有权决定接受与否。游戏一直进行到所有的箱子打开，或者你接受银行家的出价为止。
假设游戏进行到5个箱子已经打开了：10块，100块，500块，5000块，1万块，还剩下1块钱，5块， 1000块，5万块， 10万块这个五个箱子未知，包括一个你手里的。银行家的上次出价3万块，你不接受。然后主持打开下一个箱子，是5万块的那个。这样未知的四个箱子是1块钱，5块，1000块，10万块， 然后银行家会再次出价。
请问：银行家的这次新出价是升高了还是降低了，或者不变？
假设银行家的出价不变，你应该接受吗？
问题4：假设你是某高校招生委员会的主任。某天校长跑来对你说，看看咱的今年的招生数据，你太喜欢招男生了。
申请人数 录取率
男生 2000 51%
女生 880 42%
你说，领导，不会呀。我特地让下面的人关照多招女生的。不信，你看看这个各系的招生数据：
院| 男生 |女生
| 申请数 录取率 |申请数 录取率
文理院 800 65% 100 90%
工学院 500 60% 30 100%
商学院 300 30% 400 34%
法学院 200 20% 300 24%
医学院 200 30% 50 90%
请问：校长和你谁是对的？为啥那个错的人错了？
四个问题最后都搞能明白的，老马认为统计概论智慧在生活中是够用了。
下接
本帖一共被 8 帖 引用 (帖内工具实现)家园 第二个问题的另一个通俗解释 刚刚一时兴起，回了一个新兵的帖子，见frnkl:解释一下，你的问题可能缺一个至关重要的前提。然后发现原来老马丁这儿已经讨论过这个问题。我的那个解释很数学化，又发现煮酒正熟:关于第二题的一种通俗易懂的解法。哈哈，一时手痒，也发一个新版的通俗解释。
原问题如下
问题2：这是个综艺节目，你被选为嘉宾上台参与。你面前有三个一模一样的箱子，你被告知有个箱子里面有个十万美元的支票（或者2克拉钻石/保时捷的钥匙及行驶证，按自己喜好改……）。你选对了箱子，里面的东西就归你。游戏规则是是你先选好一个箱子，然后主持人（她知道哪个箱子里有宝）会打开一个你没选的空箱子给你看，然后你可以决定是换一个箱子，还是坚持你最早的选择。你决定后主持人会打开你最终选择的箱子，宣布结果。请问，那种决策让你赢的概率更大？（a）换一个箱子
（b）坚持原来的选择
（c）上面两个赢的概率一样。
问题的正确答案自然是（a）。下面是我的解释。
我们不要考虑换不换箱子的问题，而等价考虑有第二个嘉宾，他在你挑剩下的箱子里挑一个，问题是谁得宝的概率大。
你得宝的概率固定为（你选中正确箱子的概率）=1/3。
如果没有主持人的参与，则第二个嘉宾得宝的概率是（你没选中正确箱子的概率）*（第二个嘉宾在剩下的箱子选中正确箱子的概率）=（2/3）*（1/2）=1/3，两者得宝概率相同。
现在主持人（她知道哪个箱子里有宝）替第二个嘉宾排除了不可能有宝的箱子，则第二个嘉宾得宝的概率变为（你没选中正确箱子的概率）*（第二个嘉宾在剩下的箱子选中正确箱子的概率）=（2/3）*（1/1）=2/3。这时第二个嘉宾得宝率增加，大于你得宝的概率。
这个问题如果一般化为有N个箱子（N>=3)，则更容易理解。你得宝的概率为（1/N)，第二个嘉宾得宝概率为((N-1)/N)*(1/(N-2))=(1/N)*((N-1)/(N-2))>(1/N)=你得宝的概率。
本帖一共被 3 帖 引用 (帖内工具实现)家园 打倒贝叶斯！ 枉我也算在统计系念过两年书的……第二个问题尤其是绕。按照我们一直训练的“统计直觉”，一眼看去这就是一个普通的条件概率问题，却有意无意地忽视了主持人知道箱中情况这一条件。后来想了想，终于想明白了，这其实是一个典型的贝叶斯概率问题（我们恰好正在学贝叶斯统计）。我的解释是，原因在于主持人是知道哪个箱子中是有奖品的，而一般遇到的情况都是不知道的，如果主持人不知道，自然两个箱子中有奖品的概率都是一个普通的条件概率1/2，但是由于主持人是知道哪个箱子中有奖品的，如果你原先选中的箱子中有奖品，主持人只有1/2的几率选到那个特定的箱子；但是如果你的箱子中没有奖品，主持人则必定会选到那个特定的箱子。纠结的贝叶斯啊
……- 复 打倒贝叶斯！
家园 第二个问题还是古典概型吧。。。 假设一开始指定的是A箱：
1.若坚持A箱，则只要A箱有宝即中标：A中有宝概率：1/3
2.若选择换箱，则只要A箱无宝即中标：A中无宝概率：2/3
觉得概率里面很多很绕的东西，换一种表达方式出来就很好理解和做题了。。。
本帖一共被 1 帖 引用 (帖内工具实现)
家园 第三个问题，要看期望效用函数凹凸吧 如过效用函数不凹不凸是线性的，那就是风险中性，可以用期望值代替期望效用，答案是下降，接受3万。可是如果是convex，那说明嘉宾喜好风险，喜欢赌博，那很可能他选择一搏，因为对于他这个不确定性的价值高于实在的3万块钱。
比如，假定x块钱的效用是u(x)=x^2，
EU=1/4u(1)+1/4u(5)+1/4u(1000)+1/4u(50,000)+1/4u(100,000)
> 1/4u(100,000)=1/4*10^10=2.5*10^9
u(30,000)=9*10^8
还是赌一把合算。
期望值等于期望函数是个隐含假设，但不一定对吧。
家园 送花，不能不送！ 家园 开心，四个问题都明白啦！ 家园 六合彩的中奖几率 不知各位有没有注意过六合彩的中奖几率？ 按照小概率理论，这是不应该发生的事情，可是每周都有人中，这是为何？请教一下。
- 复 六合彩的中奖几率
家园 很浅显的例子 一个班级60人的班级里，有两个人的出生月日相同的概率很大，具体可以计算，随着班级人数的增加，这个概率会变的很大。
- 复 六合彩的中奖几率
家园 有人中头奖的概率很高的 计算一下。
按照南非的计算吧，南非是49选6，这样，可能的排列组合的数量，是49*48*47*46*45*44/1/2/3/4/5/6=13,983,816。
中奖的概率也就是一千四百万分之一。
也就是说如果这一期六合彩只卖出了一张，那么出现大奖的可能性就是一千四百万分之一。很小了吧？
问题是有很多人买，事情就变化了。
只有一个人买，这个人不中大奖的概率是13983815/13983816=99.99999285%。
要是有两个人买呢，那么两个人都不中大奖的概率就是上面这个数字的平方，多少呢？99.99998570%。成了大约七百万分之一。还是很小？
要是有十个人买了呢，是个人都不中奖的概率就是上面那个数字的十次方，多少呢？99.99993%，大约是140万分之一。
1000个人买呢？这一千个人都不中奖的概率就是99.993%，成了一万四千分之一。这个数字就不是特别的小了吧？
一万个人买呢，都不中奖的概率就是99.929%，一千四百分之一。
实际上南非的彩票现在大约每期卖出一千万张，这样，这一期没有人中奖的概率就只有48.9%。看看，一半！也就是说每一期有一半的概率可以开出大奖。
如果南非将近五千万人口每个人都买一张，那么没有人中大奖的概率仅仅有2.8%！这个时候，没有人中奖就成了新鲜事了。
再小概率的事件，当样本大到一定程度的时候，在某一个样本上发生的概率也会很大。