主题：【原创】胡乱谈谈美国或美国人 -- 侯登科
家园 每天做一张数学卷子并不能提高数学水平 都是体感反射答题，只能提高应试水平，三五年内必忘。
[中学生]提高数学水平只有一种方法：先自己钻研一道难题（所学范围内的，半开卷），彻底解决之。如不能彻底解决，应参阅教科书，探讨几种可能的思路，在得出初步结果后，1.与同学一起讨论 2. 对照正确答案 3.听老师讲解。目的也不是掌握答案，而是在于找到盲点。当然，要解决这样一道题，几十分钟到几个小时的功夫少不了，拷问学生主动性。但，有真正收获。
家园 扯远了。枯燥乏味的基础工作，追求自由之境的成年人不大做了 成年以后，事多力少，再做这样基础的工作，很多人都经受不住了。
至于说如何提高，有什么技巧，没有底子，也都是虚的。
家园 提高数学最有效的是自己提出猜想，自己证明或者否决 你的学习方法还是不够主动，你做的是别人的题而不是自己的题。
你自己观察数学规律，试图总结数学规律并提出猜想，这样才是一种主动的思考数学的方式。
家园 总结规律是必经步骤，但证明往往超出中学生能力范围。 初等问题并非都有初等解答，许多需要近代数学方法，甚至现代数学方法。中学数学的范围主要是初等代数和初等几何，再加一些微积分和概率统计的“基本概念”。给学生做的“难题”（包括国际数学奥林匹克的题），实际上都是经过精心挑选的容易题（即在较高的视角下出题人可以一眼看穿，同时又保证有初等证法）。只有到大学阶段，掌握了一些较基本的数学工具、了解了较严格的数学体系，才有机会自由证明各种问题。
（古希腊三大几何问题难倒多少民间数学家！只因没有天才到笛卡儿、高斯、伽罗瓦三人合体的水平，不能跳出欧几里得时代做图求证的思维。还有数论问题，往往看起来简单，但轻易把外行人困住几十年，历史上常事。）
数学的历史太长。中学阶段主要是学习十六、十七世纪的数学家们的成果和部分经验，做题只是这种学习的一部分。但需要注意的是，十七世纪数学家平时研究的问题，比如说最速降线问题（实际上是变分问题，即给定条件求曲线，而非给定曲线求性质），已经超过了中学生的能力，可以用非证明的方法探索。对于大学生来说，倒是可以去读读牛顿一个晚上整出来的证明（https://rmf.smf.mx/pdf/rmf/40/3/40_3_459.pdf），用到了惠更斯的等时曲线证明，微积分学的透彻的话，应该都能看懂。
（也有人直接研究高等数学公式的规律，自学成才，这个人叫做拉马努金，是个非常牛逼的数学家。不推荐一般人学习，但也不失一种参照。掌握了系统化的更高的视角后，研究任何问题，都比那些花几十年琢磨初等数学题出不来的人自如多了。）
通宝推：林风清逸,也要崛起,桥上,- 待认可未通过。偏要看
家园 没人跟你说高等方法更适合竞赛 而是说从更高的角度看懂竞赛题
IMO的题常常都有经典数学问题的背景，从出题人的角度了解其来龙去脉并不难。你要知道，一般出题人都是数学教授，而不是中学竞赛老师。
但是数学家的工作，并不是重复训练，针对特定问题强化答题速度，奥赛那么点时间（分两日，每天4.5小时，答6题），当然更有利于初等技巧的发挥，也有利于年轻人的思维速度。
而且如果有数学家确实做过IMO，大多做不出，并不稀奇。反过来说，都做出来了，也不稀奇，大数学家也年轻过，陶哲轩当然是拿过IMO金牌的，佩雷尔曼则以满分拿过IMO金牌。这个事实你能否认？
你凭空说怀尔斯答不出大多数数论题，纯属你的想象，有可能这样，有可能相反，并无事实根据。
顺带一提：初等数论的东西，中学并不教，到大学应该只有数学专业才学。几个中学生知道同余式是什么？出一个2018^2017 除以 7 余几（≡ 2^(2016+1) ≡ 2 mod 7）这样的问题，也难倒了，何况IMO的题？这才的是考谁懂的多啊。
家园 举个例子，平方和公式的推广 如立方和 0^3 + 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + N^3 = N^4/4 + N^3/2 + N^2/4 = (N(N+1)/2)^2
中学阶段用数学归纳法即证，实际上只是验证公式。
不难强行凑出给定正整数次方和的公式并证明，但仍然莫名其妙。
实际上M次方和的通项公式，与黎曼zeta函数有关（https://zh.wikipedia.org/zh-hans/%E4%BC%AF%E5%8A%AA%E5%88%A9%E6%95%B0）并非中学生可以证明的了。
- 待认可未通过。偏要看
家园 Sum{k = 1 to n}(k^m), m,n>=0 Sum{k = 1 to n}(k^m) = 1/(m+1) sum{k = 0 to m}C(m+1,k)B+_k*n^(m+1-k)
其中
B+_k = -k*zeta(1-k) for n >= 1
这不就出现zeta函数了
如 1+2^5+3^5+... n^5
= (1/6)*(b_0*n^6 + 6*b_1*n^5 + 15*b_2*n^4 + 20*b_3*n^3 + 15*b_4*n^2 + 6*b_5*n)
= (1/6)*(n^6 + 6*(1/2)*n^5 + 15*(1/6)*n^4 + 0 + 15*(-1/30)*n^2 + 0)
= (1/6)*n^6 + (1/2)*n^5 + (5/12)*n^4 - (1/12)*n^2
总之，我给的链接明明一目了然，请你在确实看过链接之后，再对我贴的链接内容作评论。
家园 你根本没有看我的链接吧？是伯努利数的维基百科链接哦 并不是方幂的倒数和。
————
而且你所说的只是黎曼zeta函数的一个值zeta(2)，所对应的无穷级数，也不是有限项的求和。
而且在无穷项的情况下，也就是奇数次方幂的倒数（n^(-(2k-1))）对应的无穷级数求和，仍然可用黎曼zeta函数表示为zeta(2k-1)，而且当Re(s)>1时zeta(s)是解析连续的，根本没有你想象的问题。如 1+1/8+1/27+1/64+.. = zeta(3) = 1/2 integral t^2/(e^t-1)*dt from 0 to inf = 1.202056903... 是一个确定的实数，并不比 pi=3.14159265... 奇怪一些（并没有比超越数更奇怪的实数了，而zeta(3)是无理数，但甚至可能不是超越数。这个常数以及zeta(5)=1.036927755...，在热力学中很常见）。
那么你可能也会问，自然数倒数和呢？无穷项时，对应的是调和级数，它对应 zeta(1)=infinity，是zeta函数的唯一一个奇点，无法用解析延拓的方式表示为一个实数，但用拉马努金和又能表示为欧拉常数 gamma = 0.577215665...，这也是一个在各学科中很常见的常数。总之，人们对这些数早有所知。
然而，这些常数跟我前面说的正奇数次方幂求和公式关系不大。因那个公式所只需用到的值是zeta函数在负半轴上的值，首先zeta(-2k)=0，而且 zeta(1-2k)，如zeta(-1)=-12，zeta(-3)=1/120，zeta(-5)=-1/252，都是有理数。
————
恐怕是你不懂装懂，短短一个帖子错漏百出，指出你的错误都得花半天。我还换了一个说明方法，给你发了短信，不知道能否让你搞清楚。
家园 会被我扔掉。 现在谁还做试卷
家园 这个评价有些过分 中国的教育存在很大问题是不争的事实，尤其是高等教育，本人作为一高校教师深有感触，可以说若不进行伤筋动骨的改革就会完全坠入深渊。但是在基础教育这块，中国做的还可以，僵化是僵化了一点，但是基础扎实却没人能够否认。本人十分同意楼主的观点，基础教育阶段切勿过分强调所谓的“理解”，因为学习是一个不断循环，螺旋上升的过程，最初很多知识不可能一下搞明白，但是通过不断学习，不断应用过程中，最初感到模糊的知识就会变得逐渐清晰，乃至深刻理解。如果在最初就过分执着于全面理解，迟迟不能进入这一过程，那么最后的结果就是全盘放弃。
一家之言，欢迎指教。
- 复 这个评价有些过分
家园 至少在丘成桐看来中国中学生的数学基础很不充分 因为在中国，中学生基本上没有学过微积分。
我就不明白中国的中学生基础好在哪里了？
如果你要把中国学生与那些连四则运算都没有学会的那部分人相比，确实可以，但是人家是多元社会，对那部分人群本来就没有提出过高要求，而对真正有志于从事学术的学生来说，中国学生又差了太多---从基础上。
对于我来说，我一直试图把我中学时期的所有印象全部擦掉，现在擦掉得差不多了，也就可以轻装上阵了。
家园 你不是很懂吗？从事学术不是大学的任务吗？扯中学干什么？ 学术研究是大学的任务啊，为什么大学不学习呢？为什么这些事情都要推给中学呢？
确实可以，但是人家是多元社会，对那部分人群本来就没有提出过高要求，多元社会的意思就是，要把一部分人培养成什么都不懂的木偶。
可是中国是社会主义社会啊，要尽力为每个人提供发展的可能性。
家园 数学教育一家之言V: 中国的中学数学教育 转:数学教育一家之言V: 中国的中学数学教育
中国一向自豪中学数学， 觉得 美式强调各人选择， 强调与近代数学衔接，强调与应用结合， 强调螺旋上升， 不强调在初等数学上大量重复练习，不强调证明， 有其显而易见的不足： 基础不稳， 不扎， 算数只会用计算器， 混了半天其实啥也没学到，花里胡哨的， 微积分学了等于没学， 甚至比不学还糟。 （更有极端者认为微积分完全没有用， 学好四则混合运算就可以了， 此处不展开了）。
鄙人还真对此问题请教了国内一资深高级中学教师， 他的评论我整理了一下， 列在下面， 也许对大家有帮助：
（1） 与世界各国比，中国的数学教育其内容陈旧是突出的。中国花大量的时间在初等数学， 包括初等几何的训练上面， 而稍微近代一点的内容， 如矩阵和微积分训练很少。
（2） 中国的数学教育极其强调演绎，几乎忽略归纳， 不符合教育原理和认知规律。具体来说强调证明，完全忽略数学定理的发现和探索的过程。 但是人的认识规律总是从特例到一般， 数学其实也不例外。
中国不是没有注意到此问题， 事实上大纲一直在改。 现在的中学数学教育与以前相比， 差别很大。 举几例如下：
（1） 初中教材有了很大改动。 证明的成分大大降低， 联系生活的成分， 和鼓励学生探索的成分增加。
（2） 高中大纲有了很大改动。 高中分为必修， 选修。 选修开设多个层次： 矩阵，微积分， 计算机编程， 布尔代数， 线性规划， 都包括在选修里。 当然矫枉一定过正。 现在选修也包括了 几何曲面的分类 等极具中土特色的topic
（3）虽然大纲有了很大改动， 中学教育未必马上能跟上。 不是每个中学都能把学修课开出来 （ 几何曲面的分类 ：） ）。 老师的思维还是有一定的惯性。 还是以高考为导向， 重复做题为基本手段， 鼓励探索和发现的成分太少。但毕竟不是在初等数学里重复训练了。
由此看来， 是中国以行动在向世界靠拢而不是反过来。
大概我能记得的就是这些了。
不久前看一位家长的贴， 提到强迫小孩记九九表， 不禁莞尔。 见帖子 好的数学教育从不背九九表开始 （或 数学教育一家之言 IV： 小学攻略）。
本帖一共被 1 帖 引用 (帖内工具实现)