五千年(敝帚自珍)

主题:【原创】老马丁胡侃统计之二: 生活中的几个概率统计问题 -- 老马丁

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家园 很浅显的例子

一个班级60人的班级里,有两个人的出生月日相同的概率很大,具体可以计算,随着班级人数的增加,这个概率会变的很大。

家园 第三个问题,要看期望效用函数凹凸吧

如过效用函数不凹不凸是线性的,那就是风险中性,可以用期望值代替期望效用,答案是下降,接受3万。可是如果是convex,那说明嘉宾喜好风险,喜欢赌博,那很可能他选择一搏,因为对于他这个不确定性的价值高于实在的3万块钱。

比如,假定x块钱的效用是u(x)=x^2,

EU=1/4u(1)+1/4u(5)+1/4u(1000)+1/4u(50,000)+1/4u(100,000)

> 1/4u(100,000)=1/4*10^10=2.5*10^9

u(30,000)=9*10^8

还是赌一把合算。

期望值等于期望函数是个隐含假设,但不一定对吧。

家园 打倒贝叶斯!

枉我也算在统计系念过两年书的……第二个问题尤其是绕。按照我们一直训练的“统计直觉”,一眼看去这就是一个普通的条件概率问题,却有意无意地忽视了主持人知道箱中情况这一条件。后来想了想,终于想明白了,这其实是一个典型的贝叶斯概率问题(我们恰好正在学贝叶斯统计)。我的解释是,原因在于主持人是知道哪个箱子中是有奖品的,而一般遇到的情况都是不知道的,如果主持人不知道,自然两个箱子中有奖品的概率都是一个普通的条件概率1/2,但是由于主持人是知道哪个箱子中有奖品的,如果你原先选中的箱子中有奖品,主持人只有1/2的几率选到那个特定的箱子;但是如果你的箱子中没有奖品,主持人则必定会选到那个特定的箱子。纠结的贝叶斯啊……

家园 如实汇报一下

前三道题,走运,今天都做对了,答案也比较严谨。

第四道题,判断谁错谁对很容易,但是要解释清楚原因,却不太容易。老酒的解释自然是正确的,但是我觉得,最好配个公式,推导一下,更容易令人信服。

公式加推导,心里就踏实。我这人有点强迫症。

家园 第二个问题还是古典概型吧。。。

假设一开始指定的是A箱:

1.若坚持A箱,则只要A箱有宝即中标:A中有宝概率:1/3

2.若选择换箱,则只要A箱无宝即中标:A中无宝概率:2/3

觉得概率里面很多很绕的东西,换一种表达方式出来就很好理解和做题了。。。


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家园 大溪水是今年刚从北京某出版社辞职的那个大溪水编辑吗?呵呵
家园 嗯嗯,这样说果然也很有道理

不过这样子说的话,怎样说清主持人预先知道与不知道奖品情况的区别在哪里呢?

家园 不是

草民一个~

不是
家园 哦,那巧合了,呵呵。

我认识一个很有名的策划编辑,网民也叫大溪水。

西西河还有一个“人在旅途”的ID,和我实验室师姐的男朋友的网名一样,真是巧了,呵呵。

家园 很简单啊

主持人如果预先不知道奖品位置,那么他打开B或者C的时候,就将有1/3的可能打开到奖品,有2/3的可能打开到空箱子。。。打开奖品的情况不讨论,那样游戏就没得玩了,讨论主持人打开空箱的情况:

可以把上一个回复中的情况这样描述:

1.若坚持A箱,则只要A箱有宝即中标:A中有宝概率:1/3

2.若选择换箱,则只要A箱无宝且主持人打开的是空箱子,即中标:A中无宝概率2/3,主持人打开空箱子概率2/3,取交集 —— 4/9


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家园 世界很小

才发现我老板新女友竟然是我大学同学的同事~

家园 第二个问题的另一个通俗解释

刚刚一时兴起,回了一个新兵的帖子,见frnkl:解释一下,你的问题可能缺一个至关重要的前提。然后发现原来老马丁这儿已经讨论过这个问题。我的那个解释很数学化,又发现煮酒正熟:关于第二题的一种通俗易懂的解法。哈哈,一时手痒,也发一个新版的通俗解释。

原问题如下

问题2:这是个综艺节目,你被选为嘉宾上台参与。你面前有三个一模一样的箱子,你被告知有个箱子里面有个十万美元的支票(或者2克拉钻石/保时捷的钥匙及行驶证,按自己喜好改……)。你选对了箱子,里面的东西就归你。游戏规则是是你先选好一个箱子,然后主持人(她知道哪个箱子里有宝)会打开一个你没选的空箱子给你看,然后你可以决定是换一个箱子,还是坚持你最早的选择。你决定后主持人会打开你最终选择的箱子,宣布结果。请问,那种决策让你赢的概率更大?

(a)换一个箱子

(b)坚持原来的选择

(c)上面两个赢的概率一样。

问题的正确答案自然是(a)。下面是我的解释。

我们不要考虑换不换箱子的问题,而等价考虑有第二个嘉宾,他在你挑剩下的箱子里挑一个,问题是谁得宝的概率大。

你得宝的概率固定为(你选中正确箱子的概率)=1/3。

如果没有主持人的参与,则第二个嘉宾得宝的概率是(你没选中正确箱子的概率)*(第二个嘉宾在剩下的箱子选中正确箱子的概率)=(2/3)*(1/2)=1/3,两者得宝概率相同。

现在主持人(她知道哪个箱子里有宝)替第二个嘉宾排除了不可能有宝的箱子,则第二个嘉宾得宝的概率变为(你没选中正确箱子的概率)*(第二个嘉宾在剩下的箱子选中正确箱子的概率)=(2/3)*(1/1)=2/3。这时第二个嘉宾得宝率增加,大于你得宝的概率。

这个问题如果一般化为有N个箱子(N>=3),则更容易理解。你得宝的概率为(1/N),第二个嘉宾得宝概率为((N-1)/N)*(1/(N-2))=(1/N)*((N-1)/(N-2))>(1/N)=你得宝的概率。


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家园 河里这个问题的讨论有点乱我还没看到标准答案,不过

这里的第二点:“若选择换箱,则只要A箱无宝且主持人打开的是空箱子,即中标:A中无宝概率2/3,主持人打开空箱子概率2/3,取交集 —— 4/9”

感觉是不是有点问题啊,就是“A中无宝”和“主持人打开空箱子”这两个事件应该不是相互独立事件吧,如果不是相互独立,还能取交集么...

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