主题：阿波罗尼奥斯问题-Prob. of Apollonius -- 理性网民

式（6.8）可以改写成为如下向量形式，并可以将其解表示成

其中字母上的箭头表示连接两点的向量，而lAB、lAC分别表示与向量AC、向量AB垂直的向量，且满足如下关系

式（6.13）可以通过将等式两边同时与向量AB、向量AC做点积来验证。进一步可以验证

其中ϕ = BAC为向量AC、向量AB的夹角。

类似的，式（6.9）可以改写成为如下向量形式。其中，向量k沿x轴与y轴的分量即为kx、ky。

kx与ky的平方和即为向量k长度的平方。利用（6.15）式，可以得到

式（6.17）可以用来判断式（6.10）中二次项的系数。定义θB = rB/dAB、θC = rC/dAC，分别表示圆B、圆C相对于点A的半视角。当ϕ = θB ∓ θC时

ϕ = θB ∓ θC意味着当从点A观察圆B、圆C时，两圆圆心的视距离等于两圆的半视角之和或之差。也就是说，可以找到一条经过点A的直线与圆B、圆C相切。这意味着点A在圆B与圆C的公切线上。

为了证明式（6.11）与式（6.12）等价，注意到式（6.11）中方括号内的项即为向量AE与向量k的叉积的模。为了将叉积的模转化为点积，令与向量AE垂直的向量为

式（6.11）可以转化为

这样Δ与如下定义的Λ同号，且