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主题:【原创】老马丁胡侃统计之二: 生活中的几个概率统计问题 -- 老马丁

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    • 家园 关于第二题的一种通俗易懂的解法

      上次这个题在河里讨论时,有人给出纯统计学的解法,就是条件概率 (conditional probability) 的计算,但始终没人给出通俗易懂的解法。今天俺再来试试,如果这个解法说得通,也算俺对水风道长当年疑问的一个迟到的答复吧~

      这个题的隐含或默认前提是,主持人知道三个箱子中哪个箱子里有宝。我们要牢牢记住这个默认前提。

      三个箱子,每个箱子中有宝的概率都是1/3。这一点 大家应无疑义。

      因此,当你随意挑了一个箱子A之后,你的中宝率必然是1/3。

      因此,另外两个箱子B和C中有宝的总概率是 1/3 + 1/3 = 2/3,对吧?

      这里需要提醒一哈 ---- 所谓概率,是针对未知情况的。在我们没有打开箱子之前,这个箱子里有没有宝 是未知的,所以我们会引入概率这个概念,并且判定这个箱子的含宝率是1/3。可一旦我们打开了这个箱子,这个箱子的含宝率就不再是1/3了,而是0或1这两个数字。

      好,俺们回到前面的话头儿 --- B和C这两个箱子的总含宝率是2/3。当主持人打开B箱 并展示给你和观众们 里面没宝时,B箱的含宝率从1/3变为0 (从未知变为已知),因此,另一个箱子C的含宝率就从原来的1/3变为了 2/3!

      为什么C的含宝率变为2/3了呢?因为B和C的总含宝率是2/3,而B现已证明其含宝率是零了呀~~

      所以,在这种情况下,你如果选择继续持有A箱,那么你的中宝率仍然是1/3,但如果你选择更换 --- 换成持有C箱,那么你的中宝率会提高为2/3。就是这么简单撒~~


      本帖一共被 4 帖 引用 (帖内工具实现)
      • 家园 三门问题的最完美解答之一

        据说三门问题的最完美解答之一是美国的 Leonard Gillman教授在1992年在The American Mathematical Monthly上发表的论文 The Car and Goats,哪位兄弟找哈。很久以前看过,E文的,没看懂。Leonard Gillman好像当过XX数学家协会主席。据说答案分了几种情况讨论的,没有想象中的简单。

      • 家园 还是有%9

        如果我们不知道主持人知道不知道,那么概率应该是多少呢?

        • 家园 噢,明白了

          主持人打开的那个,不能算是概率1/3。

          只有三选一的时候概率才是 1/3。

          我所谓的集合的划分是第一次选择确定的。

          第一次选择将三个箱子划分成两个集合,宝落在两个集合内的概率分别是1/3和2/3。

          第二次选择其实是在选择其中一个集合。由于第二个集合内只有一只箱子,所以选择那个剩余的箱子。

          所以即使主持人事先不知情,只要他打开的是空箱子,我就应该换。

          问题的关键不在主持人知道不知道,而是主持人打开的箱子是空的!!

        • 家园 主持人打开的箱子跟我选%

          另外,即使主持人知道那个箱子有宝,凭什么认定主持人打开的那个箱子跟剩下的那个箱子是一个集合。我也可以认为我选择的箱子跟主持人打开的那个是一个集合。也就是1/3(主持人打开的) + 1/3(我选择的) = 2/3。

      • 家园 有分歧啊,老问题了

        首先选一个,是1/3的概率。

        当打开一个以后,第一次的选择已经变成了1/2。

        此时再改选,概率仍是1/2。

        关键要看到打开一个以后,情况变化导致第一次选择的概率也随之改变。

        老酒说的C箱从1/3变成了2/3,错误在于没想到随着B箱的打开,A箱的概率起了变化。此时B和C的总概率已经不是2/3了,也就无法简单计算C箱的概率是2/3-0=2/3了。

        打开B后,重新选,两个挑一个,无论以前发生什么都是已经发生的,所以必然是1/2。

        至于为什么打开B后,开始选的A的概率也会变,可能是很多人理解的盲点。可以这么看,一开始有一万个箱子,选A是1/10000的概率,打开9998个箱子,现在问你,继续选A,是万分之一的概率,还是1/2?

        --------

        哦耶,刚看到你对懒厨的回复。

        1万张彩票,咱买了一张(设为A)。当主持人打开9998张没中奖的票以后,剩余的那张(设为C)的概率将接近100%?而咱手上的那张仍然是万分之一?

        ok.现在有第三人,要以原票价买咱手上的那张,你真的肯么?在第三人看来,A与C有区别吗?

      • 家园 delete
      • 家园 还是不理解,在主持人打开一个空箱之后,你不选择换。

        也可以认为自己同时选择了A和打开的那个,概率同样是2/3,有什么区别?

      • 家园 谢谢,这个道理说得很明白

        我不明白的是:为什么C箱的概率变了,但A箱的概率不变呢?

        我原本以为,打开B箱之后,AC箱都变成50%了,请问这个想法错在哪里?

        • 家园 厨兄已经明白了

          不过俺还是想补充一点 --- 您说的各有50%得宝概率,那个,只有在这种情况下才成立 --- 有两个箱子,只有一个有宝,而您对这两个箱子一无所知,这种情况下让您选一个。

          而题中的情况不是这样。题中的情况是 --- 让您在您已持有的A箱 与 主持人为您保留的C箱之间 选一个。您是在对三个箱子一无所知的情况下选的A箱,因此A箱的得宝概率,在未知的情况下,是1/3 (在已知的情况下则是非0即1);然后主持人在B与C箱之间,去掉了那个空箱子B,这种情况下,B与C的总概率不变,仍是2/3 (只有当主持人打开您选的A箱的情况下,才会改变B与C的总概率,将其从2/3改为0或1)。

          既然B与C的总概率不变,而B的概率被归零,因此C的概率就升为2/3。

          A的概率始终维持在您初选时的1/3。只有当主持人打开A,或打开B与C时,A的概率才会改变,否则它始终都是1/3。而且即使主持人打开A 或B+C,导致A的概率发生变化,A的概率也不会变成1/2,而是0或1。

        • 家园 用频率统计方法可能比较简单

          把宝放在A,B,C各一次,你发现换的话,你可以

          赢2次失败一次,不换则倒过来。

          至于为什么A的概率不变而C的概率变? 好象既简单又

          复杂,如果主持人不知道哪个箱子有宝,两个箱子

          概率都变,要是主持人知道呢,就一个变化。

          所以变不变就在主持人一念之间。呵呵:)

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