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家园 【原创】勾股定理（三）--- 先驱们 转眼到了19世纪，几何学大变革的大幕即将拉开。
首先出场的是个匈牙利年轻人，名叫鲍耶（Janos Bolyai），和法国天才Galois很像，极具数学天分的他还具有勃勃的雄心。他的目标是通过反证法证明第五公设。为此，他提出相反的假设：过直线外一点有多于一条直线与原直线不相交。在前人大量工作的基础上，20岁不到的他发展出一套完整的理论，一套与欧式几何学非常不同的几何理论。和前人相同的是，他在这套理论中始终没有找到与其他公设的矛盾之处。不同的是，他向世人宣布，找不到矛盾是因为本来就没有矛盾！第五公设根本不可能被其他公设推导出来，因为它独立于其他公设。也就是说，他通过改变第五公设，发现了一种新的几何学。
外链图片需谨慎，可能会被源头改几乎在同时，甚至更早些时候，俄罗斯有位名叫罗巴切夫斯基（Nikolai Ivanovich Lobachevsky）的数学家也做出了独立的工作。同前人们一样，他一直试图证明第五公设，有几次甚至以为自己已经成功，不久后又发现自己的错误。终于有一天他也醒悟了，他用同样的假设代替第五公设，得出了同样一套几何理论。他们同时独立发现的这套理论被后人称为Bolyai-Lobachevsky几何，又称为“双曲几何学”。
外链图片需谨慎，可能会被源头改“双曲”和双沟大曲没关系。这是双曲函数的图像。亲切吧。：）
今天的我们也许很难想象这套“叛逆”的理论诞生时所经受的压力。罗巴切夫斯基的论文被圣彼得堡科学院置之不理，更长期被当地学术圈视为疯子，还常常收到匿名攻击。他的论文无处投稿，幸亏后来他当上了喀山大学的校长，利用一点职权在校刊上发表了论文。事实上他的工作大约到了几十年后才被世界承认。罗巴切夫斯基在俄罗斯孤独的一个人在战斗，直到去世前都没受到公开的支持。后人赞颂他为“数学中的哥白尼”。
外链图片需谨慎，可能会被源头改而我们的小鲍耶显然也很清楚自己的处境，他明白以一人之力挑战整个学术圈的困难。聪明的人动起了小脑筋 ------ 找熟人开后门。鲍耶的父亲不仅研究工作出色，还认识不少学术名流。尤其是他和当时世界数学界的领袖------高斯是多年的同窗好友。
小鲍耶将工作寄给高斯，满心期待的他不久后收到了一封非常著名的回信：“我不能赞美你，因为赞美你就是赞美我自己。。。。。。你的工作，与我30多年前作出的发现几乎完全一样。。。。。。”任何人看到这样的回信恐怕都无法平静，更何况是年轻气盛而又刚刚做出惊人发现的小鲍耶。他与高斯彻底决裂，并严厉指责高斯是可耻的剽窃者。更可惜的是，鲍耶此后在学术方面再也没有做出新的贡献。
看过电影《莫扎特》（Amedeus）的朋友（没看过的朋友我强烈建议你们去看看）一定对影片中的大反派萨列里（Salieri）印象深刻，这位天才的宫廷音乐家无疑是最了解莫扎特艺术天分的人物，也正是这种了解让他无法忽视莫扎特对他地位的威胁，最后痛下杀手。如果把非欧几何的故事戏说成电影的话，说不定情节更离奇曲折，而大反派的角色，多半花落到高斯头上。
戏说归戏说，历史上的萨列里远非电影刻画的那么不堪。（据说萨列里家乡人民一直嚷嚷着要和电影剧组打官司）历史上的高斯到底和非欧几何有什么瓜葛呢？
本帖一共被 1 帖 引用 (帖内工具实现)家园 AMADEUS？ 我们的一个数据库就是用这个名字命名的。
家园 双曲函数的图像就是美人腰，活活！ 家园 请教一下 拜读大作，提个问题。
第五公设并非如人们预想的那样，是由前四条公设推倒而来的。它本身是一条独立的公设，和其它四条一起作为欧几里德几何成立的前提。
那么，这五条公设的地位应该是平等的，互相不依赖的。而同时满足这五个公设的几何学，作为一个特例，即是欧氏几何学。既然它们彼此平等，何尝不能通过否定其它四条公设中的一条或几条，或者再添加新的，完全独立的公设，来构造不同的几何学呢？
直觉上，欧氏几何是和我们日常经验相符的；耳闻中，非欧几何在相对论中有重要的应用。它们都与现实世界发生了某种关联。如果还存在其它不相同的几何学，它们又将如何与现实产生对应呢？
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家园 欧几里得公理体系 首先第一条：欧几里得的公理体系远远称不上严密，用服装来比喻的话，连渔网装都算不上，最多也就是条丁字裤，基本上什么都没包住。
1. 在欧氏体系中缺少关于存在性的公理，于是连“存在一个点”这种简单到极点的命题都无法证明，也就是说，欧氏体系有可能在放空炮，讨论些类似于上帝的老婆长什么样之类的问题。
2. 欧氏体系缺少关于顺序的公理，所谓顺序，就是一条直线上三个点之间的位置关系，直观上看一条直线上任取三点必定有且仅有一点在其它两点之间。还有就是平面顺序公理，一般陈述为：直线a在平面ABC上，但不过A,B,C任一点，若a与线段AB相交，则a必与AC或者BC相交。缺少顺序公理导致一个著名的悖论：任意三角形都是等边三角形。
3. 欧氏体系缺少线段、角相等的公理。在不同位置的线段或者角怎么样才算相等，欧几里得借助于直觉。
4. 欧氏体系缺少关于空间维数的公理。
5. 欧氏体系缺少完备性公理。这样你就无法证明100度角的存在性。
关于改变一些公理得到新几何的尝试当然有了，比方说改变平行公理，就得到罗氏几何（不能直接得到黎曼球面几何，原因是球面几何的顺序公理不太一样，一个圆上的三点中的任一点都在其余两点之间）；改变完备性公理是最简单的，得到不完全的欧氏几何，研究对象只是欧氏空间的一部分；改变阿基米德公理得到非阿基米德几何。（阿基米德公理：设AB，CD为任意非零线段，则存在自然数n使得n AB>CD。）
公理体系并没有规定自己的适用对象，比方说，它并没有规定什么叫点，什么叫线，什么叫相交，你要把点理解成地球上的人，线理解成人与人之间的关系，这也不是不可以，如果经过检验你选的那些关系满足公理，那么一条几何定理就可以解释成人际关系中的相应定理。所谓“欧氏几何和我们日常经验相符”必须通过对对象的阐释实现，
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家园 兄台好帖，寓教于乐啊 如果经过检验你选的那些关系满足公理这句话是我最关心的。我倾向于认为，存在某些数学关系，用终极的方式描述宇宙的一切。所以，如果我们需要对某些公设进行修修补补，然后再一一检验，发现它们各自的适用范围。那么，这些各不相同的几何学，看来都不是“最完备的几何学”。这个现象很令人失望啊。不过是令我这个外行失望，呵呵。
家园 你对完备性的理解是什么？ 公理体系的完备性：对属于该公理体系的命题，必须能够给出基于给定公理的证明或者否定，也就是说，公理必须足够多。
很遗憾，由于哥德尔不完备性定理，可以说大部分公理体系都彼此彼此。
你这里说的完备性似乎是另一种含义：理论所描述的对象必须包罗万有，这个根本不可能。
家园 关于“完备” 首先我得再强调一遍我是外行，呵呵。在我自己的领域，我其实很不喜欢和外行谈专业话题（美女除外），太累。所以老兄愿意多给我些指点，我非常感激啊。
我选择完备这个词，因为这个词听起来实在太舒服了，能够很好的表达我对一个终极理论的感受。（比如“完善”，就不好，听起来好像总可以继续“完善”下去。）但是看了你的帖子，我才意识到，我似乎用了一个已经有明确定义的术语。希望我的鲁莽用词不会造成误会。
对属于该公理体系的命题，必须能够给出基于给定公理的证明或者否定我对这句话的疑问是：什么叫属于某个体系？直觉上，如果某命题可以被某公理体系加以证明或证伪，则应该属于这个公理体系。很显然，这一直觉和上面引语循环论证。所以，什么叫属于某个体系。
我认为应该存在某种“科学宿命论”，虽然这种宿命论必然不是像拉普拉斯所言的决定性的，但它一定囊括一切命题，或者说一切现象。这个观点的出现是如此自然，以至于我觉得完全不必要去证明它。难道你相信宇宙是被若干互相独立的规律支配运行的？
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家园 所谓命题属于公理体系 并不是说这个命题在体系中能被证明或者证伪，而是说这个命题所用到的概念都在公理体系中有意义（公理体系的原始对象和关系，或者体系中的定理保证的可以定义的对象和关系）。比如说“铁手英明神武”这个命题就不属于欧氏几何，因为“铁手”和“英明神武”在欧氏几何中不可能有意义。而连续统假设这个命题在实数理论（包括集合公理）中就有意义，但是它在实数理论中是不可证明的。
理论不完备就是说理论涉及到的对象的某些性质超出了自身能力。这样对同一个理论可以造出两种模型，都满足所有给定公理，但是这两种模型可以对某些命题给出相反的答案。
数学并不要求描述宇宙的规律，不管宇宙的规律是什么，数学都允许研究这个规律的反面，并且两者地位等同。
家园 能给我一个特别简单的例子么 我对“不可证明”这个概念比较好奇，听起来像是在说“公理对该命题无能为力”。
印象中，形式语言里有一个概念叫“不可计算”，天，当时就是这个概念把我难得够呛。而这个“不可计算”其实还是能严格证明的；现在要“不可证明”了，我实在有理解困难。呵呵。
看来我得学习一下相关知识才能问出有意义的问题。
家园 这么明显的例子都忘了？第五公设不可证明 准确地说，在去掉第五公设的欧氏几何公理体系中第五公设这个命题有意义（所有涉及到的概念——直线、外、点、过点的直线、相交——都在理论范围内），但是不可证明，认为它成立，就是欧氏几何，不成立，就是罗氏几何，两个体系都自洽，证明这点用了两千多年。