主题：【原创】上帝之书 -- 我爱莫扎特
家园 看到了 现在哥廷根堕落到什么程度了？？
家园 全等图看得头大啊 呵呵，空间想象匮乏呀，回去锻炼一下
老铁都发通宝赞助了
恭喜：你意外获得【通宝】一枚
鲜花已经成功送出。
此次送花为【有效送花赞扬，涨乐善、声望】
家园 这位克莱因是那位 “克莱因瓶”的发明或说原创者吗？
家园 特别喜欢Escher的那些画 一个画家在数学家的圈子里得到了最大的认同
外链图片需谨慎，可能会被源头改
外链图片需谨慎，可能会被源头改
外链图片需谨慎，可能会被源头改家园 这贴得花，Erlangen还有这么段故事啊 家园 彭加勒,传说中的最后一个全才 读过他的一本书,不是数学方面的.现在已经忘了那书是讲啥的了,书在国内的家里.
他的堂兄是法国的部长.
少年时看希尔伯特的二十个问题(当时好象出了套面向数学爱好者的科普性质丛书),觉得这个世界真是神奇.等到费马定理被证明时,发现自己原来生活在一个神奇的时代.
家园 李醒民：《最后的通才》 书里面写到了poincare的一些贡献
开拓微分方程的定性研究领域
特别是极限环
魔鬼的笛声---Poincare猜想
对多体问题的研究使他得了瑞典人还是哪国人颁发的一个奖
开拓了代数拓扑学
他的成就应该不在高斯之下---至少不会差多少
家园 【原创】Poincare可是我的偶像 他有四本科学哲学著作：《科学与假设》(1902年)、《科学的价值》(1905年)、《科学与方法》(1908年) 和《最后的沉思》(1912年)，估计你看的是其中一本。
其中《科学与假设》最有名，里面已经奠定了狭义相对论的哲学基础。
他确实是真正的通才。不光数学物理极好，文笔也美，上面几本书都为公众所喜爱。
不过他有个非常大的弱项：绘画。他当年考综合理工学校（Ecole Polytechnique）的时候，绘画考试考了0分，就这样最后总分还是第一名。他入校后仍旧门门第一名，除了一门课 ------画法几何，很委屈的得了第二。据说他的同学们经常给他举办个人画展，把他的一些画作挂在展厅里，然后旁边加上注释：“这是一匹马”等等。。。
他的堂兄Raymond Poincare做过五任法国总理和一任法国总统（1913 -- 1920）。不过总统很容易被人遗忘，而作为科学家的Poincare却一直被人怀念。
最后挑个小错，是希尔伯特23个问题，呵呵。
家园 【原创】勾股定理（五补）--- 技术细节 刚刚说了，要真正理解Poincare圆盘模型，需要一点点数学。大家别怕，咬咬牙，一会儿就过去了。
关键在于理解勾股定理。前面咱们已经说了，非欧几何不再成立勾股定理。但我们再深入思考一下，什么是勾股定理呢？勾股定理其实就是计算两个点间距离的公式。不同的距离公式将带来完全不同的几何性质。我们前面产生的几个疑问也都可以通过距离公式一并解答。
设模型的大圆盘为单位开圆盘，即半径为1的不含边界的圆盘，我们令两点间距离是：
外链图片需谨慎，可能会被源头改，这里u=(x1,y1) , v=(x2,y2) 分别是圆盘内两个点，
外链图片需谨慎，可能会被源头改估计不少朋友会问，你怎么可以随便给个距离啊？在数学上，距离（又称度量）确实是个比生活中宽松得多的概念。一个空间内的距离其实就是点与点之间定义的非负值的函数。确切的说，只要有一个二元函数d(x,y)满足：（x，y是空间内任意两点）
1， d(x,y)>=0 (非负性)
2， d(x,y)=0 当且仅当 x=y (不可区分者的同一性)
3， d(x,y)=d(y,x) (对称性)
4， d(x,y)<=d(x,z)+d(y,z) （三角不等式）
我们就说d是一个距离。
可以验证，刚刚给出的公式是一个距离。
上面的距离公式有个很有趣的性质：当两个点越靠近圆心时，它们间的距离越小。而靠近圆盘边界的时候，两点间距离越来越大，趋向无穷。
有了距离，咱们来研究直线。模型大家都看到了，直线不再是直的。怎么回事呢？
我倒要反问一句，什么叫直的。小朋友可能会回答：拿直尺量的就是直的。可我们稍微长大一些就知道，如果拿放大镜来看，直尺远远不算直。一个好一点的回答是，光走的路线是直的。但是，自从人们听说广义相对论之后，都知道光也常常走“弯”路。不过光毕竟是光，它不管怎么走，总是走最短的路。所以在数学上，这里所讨论的“直线”其实指的就是走最短距离的那条线。这条线的学名称为测地线。
好，明白了什么是直线（测地线），又知道如何算距离，数学家只要动动笔就能把它们算出来，最后发现圆盘模型中的测地线恰恰就是那些与边界圆周垂直的圆弧。
再看问题3。现在的测地线是不是无限长呢？是的，因为长度（距离）的定义和在欧式空间不同了。会积分的同志可以试着沿着测地线做距离的积分，很容易发现模型中的测地线的确是无限长的。
问题4，角度与面积。大家还记不记得欧式几何里有个余弦定理？
外链图片需谨慎，可能会被源头改此处
外链图片需谨慎，可能会被源头改是u，v在w处的夹角。余弦定理其实也是勾股定理的推广。我们原封不动的把它搬到圆盘模型中，立刻可以从距离计算出相应的角度。
有了距离和角度，面积也就随之而来。
最后再回顾一下Escher的两张图，正如上面所述，越靠边界的地方，距离越大。所以边上看上去很小的图形其实与圆盘里面的图形一样大。
总之，有了距离，就有了一切。
本帖一共被 5 帖 引用 (帖内工具实现)家园 恩，胡思乱想，关于爱人的一个二元函数： 假设人类社会是个巨大的圆盘，任意两个人是此圆盘上任意两点，有一个二元函数d(x,y)满足：（x，y是人类社会的任意两人）
1， d(x,y)>=0 (非负性)----爱人需要共同建立起一些新的东西，而不仅仅只是两个人的简单叠加；
2， d(x,y)=0 当且仅当 x=y (不可区分者的同一性)----
3， d(x,y)=d(y,x) (对称性)
----2、3是爱人关系的完美诠释，两个相爱的人自成一个完美的体系，同时又作为互相对称并能互相映照的个体存在。
4， d(x,y)<=d(x,z)+d(y,z) （三角不等式）
----爱人之间距离最短，不需要通过第三者来互相抵达。
满足以上四个条件，我们就说d是一对爱人。
现假设人类社会的圆心为生命的本质，为真，当构成爱人的两个点越靠近圆心，即越趋近真的时候，他们之间的距离越小。而靠近圆盘边界的时候，即背离真，则两点间距离越来越大，趋向无穷。
家园 很美，很好，很美好 ：D
家园 光的折射能不能说明光是会走弯路的 比如一束光光经过一块普通玻璃后又进入铅玻璃再入空气，就发生了两次折射。
把这种铅玻璃做成许多种折射率的，铺在一起，当铅玻璃层数足够多时，光走的就像个连续的曲线，弯了
家园 光走的是最“快”路径 在无穷多种可能的选择下，光一定选择最快到达的那条路，即使从表面看上去走的是“弯”路。事实上，这时候光走的仍旧是“直线”（测地线），但是在另一个具有不同距离的空间里的直线，也就是我这篇里所讨论的。