主题：【原创】上帝之书 -- 我爱莫扎特
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家园 加油 不管八卦还是技术，都喜欢，请我爱兄继续！！！
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家园 随便说两句 你要写数学之美，怎么可能缺少技术性内容呢？就算不涉及证明，解释定理也少不了技术细节。
说句不中听的话，我认为问题出在你的写作计划。本来的主题是勾股定理，但大部分篇幅在讲非欧几何，中间穿插了几篇关于拓扑的，接下来还要写微分几何。这些多出来的内容，就算每个单独开一主题写上几万字，都难解释清楚。
考虑到大部分读者的承受能力，文章主题涉及的定理不宜超出中学及大学高数的水平太多。你主题贴里列出的几个例子就不错。
1，勾股定理2，素数有无穷多的证明
3，根号2是无理数的证明
4，无理数比有理数多得多http://www.ccthere.com/article/2025744
5，欧拉不等式：R>=2r，其中R,r分别是外接圆，内切圆半径。
6，欧拉公式点看全图
关于2，可参考Proofs from THE BOOK, 第一页；6只不过是Pi的定义罢了。
- 复 随便说两句
家园 我的写作计划 哥们儿是内行，兄弟给你解释几句。
拓扑那段，是个娱乐，与主题没啥关系。
非欧几何呢，是写作计划的一部分。
所谓勾股定理，是欧式空间内的度量。非欧几何正好用来说明这一点：
1，非欧几何内不再成立平方和关系，说明勾股定理与第五公设是等价命题。我爱莫扎特:【原创】勾股定理（中之三）--- 古怪的几何
2，在非欧几何里，成立广义的“勾股定理”，或者说度量公式。换言之，度量是刻画几何学的关键性质。我爱莫扎特:【原创】勾股定理（中之四补）--- 技术细节
接下来要写的黎曼几何也与勾股定理有关。
直到黎曼之前，不论欧式几何还是非欧几何，都将整个空间看作“铁板一块”。度量公式是定义在整个空间上的。
黎曼几何最核心的思想，是将度量局部化，也就是所谓“黎曼度量”。通俗的说，黎曼几何相当于对空间不同的点赋予不同的“广义勾股定理”。改变每点的黎曼度量，整个空间的性质也随之改变。
所以我想说的是，几何学的大变革，最终发现起关键作用的正是古老的勾股定理，或者说度量公式。
当然，这只是我的构思，写出来却变得又臭又长，令大部分读者都晕头转向。
而且，照这样写法的话，后面的命题只会越写越多，收不了场。咱且把勾股定理写完，以后再考虑其他的怎么写吧，呵呵。
家园 有些时候技术细节可以忽略的 又不是写数学paper，一步一步得无懈可击。我打个比方，绝大部分高中生都知道自然数以及四则运算，但他们并不知道严格的自然数或者四则运算的定义。尽管可以用集合的方法给出，而且不超出高中生的知识范围，但这会吓退一片人的。
家园 我觉得你的定位应该是在科普 觉得可以多讲历史，背景，发展，应用和八卦，少牵涉到技术细节，公式能少则少。但可以给出一些有关的文献和书目，对细节感兴趣或者愿意深入的自然会去跟进。
家园 一定要多讲八卦 比如ukim 的heroes in my heart 里面的那些小故事
例如
Klein（克莱茵）上了年纪之后，在Gottingen的地位几乎就和神一般，大家对之敬畏有加。那里流行一个关于Klein的笑话，说Gottingen有两种数学家，一种数学家做他们自己要做但不是Klein要他们做的事；另一类数学家做Klein要做但不是他们自己要做的事。这样Klein不属于第一类，也不属于第二类，于是Klein不是数学家。等等
最喜欢他的签名档
美丽有两种一是深刻又动人的方程
一是你泛着倦意淡淡的笑容
家园 可以参考《量子力学史话》的写法 那本书读起来就是武侠小说的味道，呵呵。
家园 勾股定理（中之四补）--- 技术细节里面的公式太雷人 我直接就崩溃了。
家园 公式太多 一个公式吓跑一半儿啊:)
说正经的，没有到深入浅出的境界，还要打磨。有的地方枯燥了些。
不过，这种科普写作真的很难。
万事开头难，加油！
- 复 【原创】上帝之书
家园 【原创】勾股定理（五）--- 眼见为实 回顾一下，故事讲到现在，非欧几何还没真正出现欧式几何那样的图，没图的几何，谁信啊？！所以首先我们需要知道，一种“想象”的几何如何才能受到学术界的承认？
一种办法是在物理上证明非欧几何的意义，也就是直接找出宇宙不符合欧氏几何的证据。这其实是条正确的道路，直到广义相对论之前，人们普遍相信宇宙是个三维的欧式空间（加上时间的话，是四维空间）。但罗巴切夫斯基还是愿意尝试一下，他假定宇宙是个很大的双曲几何的空间，用他的理论代入，计算了地球的半径，结果很遗憾，误差相当大。不过到了一百多年后，人们用广义相对论计算得知，我们这个“膨胀”的宇宙很有可能是个双曲空间，还是四维的，老罗泉下有知，应该感到安慰吧。
第二种办法，是在数学上证明他们推理出的那么多结论与前四条公理无矛盾。请大家注意，老罗也好，鲍耶也好，他们推出了一套完美的理论，而且他们相信他们的理论没有矛盾。但他们并没有证明他们的理论没有矛盾！
有人可能很不满，这有什么好证的，都那么一大套理论了，怎么还有问题？可是您怎么能保证有个不知道什么的矛盾藏在不知道什么地方呢？也许只是他们做的还不够，还没看到那个问题吧。我知道的最夸张的例子，某数学家为了用反证法，硬生生搭建起100多页的理论，最后找到一个矛盾，终于证明一个定理。
可是要证明一套理论内部无矛盾（自洽）绝对不是一件简单的事儿。有人说数学是最严格的学科，其实有个叫做数理逻辑的学科（我也不知道它算不算数学分支）才是最严格的。说到严格，有个小笑话：
物理学家、天文学家和数学家走在苏格兰高原上, 碰巧看到一只黑色的羊. “啊,” 天文学家说道,“原来苏格兰的羊是黑色的.” “得了吧, 仅凭一次观察你可不能这么说.” 物理学家道, “你只能说那只黑色的羊是在苏格兰发现的.” “也不对,” 数学家道, “由这次观察你只能说: 在这一时刻, 这只羊, 从我们观察的角度看过去, 有一侧表面上是黑色的.”这是说不同学科的科学家观念的差异，数理逻辑学家和一般数学家的差异大概有数学家与物理学家的差异那么大。数理逻辑里有一套完整的理论，专门用来对付这类公理体系有没有矛盾之类的问题。要是让数理逻辑学家来说，欧式公理体系（五条公理）本身就含糊不清，语焉不详。为此，19世纪末德国数学家希尔伯特（David Hilbert）把这些公理重新改造一番，造出一个“希尔伯特公理体系”替代欧式公理体系。而要证明一个公理体系的内在不矛盾绝对不是一件容易的事情，事实上连自然数体系的不矛盾也是到20世纪才搞清楚的，这些故事我在后文里可能会提一句。
这也不行，那也不行，怎么办呢？Beltrami出场了，他做的事情说起来很简单，他让人们（在欧式几何框架下）“看见”双曲几何，这样一来，只要大家还承认欧式几何本身没有问题，那罗巴切夫斯基几何也就安全了。
他先后给出4种非欧几何的模型，我下面介绍其中一种，这个模型又称Poincare圆盘模型。Poincare是法国大数学家，也就是前文中提到对狭义相对论有突出贡献的那位。他在Beltrami之后独立发现了这个模型，不过他比前者有名的多，人们都以为他是首创者，就以他命名了。（等会我们会说到，后来的数学家Klein也独立发现了四个模型中的一个，被命名为Klein模型。Beltrami挺冤的！）
外链图片需谨慎，可能会被源头改下面的话大家可以当童话来看。
如果说我们的宇宙是一张欧式平面的话，有一群外星人住在一个“圆盘宇宙”里，就是上图画的那样。圆盘里的几何对象在我们的世界和他们的世界有不同意义，我用蓝色表示在欧式平面里的意义（也就是正常的意义），用红色表示“圆盘宇宙”。咱们列个表：
圆盘内部（不含边界）的点 代表 “圆盘宇宙”的点
圆盘内部的与边界圆垂直的圆弧 代表 “圆盘宇宙”的直线，或称测地线
（垂直是指交点处的切线垂直）
上图画的其实是“圆盘宇宙”里纵横交错的直线（测地线）。
看到这里，估计很多朋友会有疑问，归纳起来大概有：
1， 直线怎么不是直的？
2， 这些弯曲的直线还能走最短距离么？
3， 咱们的世界里，直线能延伸到无穷，为啥这儿的直线那么短？
4， “圆盘宇宙”里直线都是弯的，角度怎么算？面积怎么算？
问题的关键其实就在勾股定理上。不过要讲清楚，得写点公式。咱们暂时搁一搁，先把不费脑子的部分看完。有兴趣的朋友可以看
在咱们地球人眼里，“圆盘宇宙”里会发生很多奇怪的事情。
比如过直线外一点有无穷多条平行线。（改变的第五公设，见图）
外链图片需谨慎，可能会被源头改比如三角形内角和小于180度。（上次提过）。
再比如看起来大小差得很多的图形却全等，当然面积也相等。下面两张图非常有名，是著名画家Escher的作品。他总是喜欢画一些外星世界的图画。第一张画名为“天使与魔鬼”，里面的天使（或者魔鬼）分别全等，从而一样大小。第二幅画里的鱼也都一样大，且沿着测地线头尾衔接。大家如果觉得很难接受的话，可以想象这些画是画在一个大碗里，你从上面看下去，那些靠边沿的图案由于与视线平行，就显得很小，其实和碗底的图案一样大的。
外链图片需谨慎，可能会被源头改
外链图片需谨慎，可能会被源头改很有意思吧。数学家们看到Beltrami的图后，一点就通，且一通百通，不久之后，罗巴切夫斯基几何的地位正式得到承认。人们也学着他，找到了很多种不同的模型。比如下图是在三维空间中的二维曲面描述罗巴切夫斯基几何。
外链图片需谨慎，可能会被源头改在一段时间内，很多数学家做了大量非欧几何方面的工作。其中值得一提的是德国大数学家克莱因（Felix Klein）。
克莱因是继高斯之后，哥廷根（Gottingen）新一代领袖，正是在他和后来的希尔伯特的领导下，德国哥廷根成为无可争议的世界数学中心，甚至于希尔伯特说出了“哥廷根外无生活（Extra Gottingen non est vita, si est vita non est ita）”这样的话。可见，克莱因的行政能力无与伦比。与许多散漫的教授不同，克莱因严谨，高傲，甚至有些拒人于外。后人常称他为“君王般的克莱因”。由于他的贡献，他被德国授予枢密顾问官职务，从此他不许别人称他为“教授”，而必须改称“枢密顾问阁下”。
外链图片需谨慎，可能会被源头改克莱因在几何学发展史上有很重要的地位。
首先，他独立发现了Beltrami四种模型中的一种，并成功的将非欧几何与欧式几何正式联系在一起，把非欧几何的基础与欧式几何的基础正式等同起来，再加上希尔伯特后来把欧式几何重新“公理化”的工作，两种几何终于安全了。
第二，正是他发现了另一种非欧几何 --- 椭圆几何的一个模型。还记得前文说过的球面几何么？克莱因发现，只要把球面的“对径点”（直径两端的顶点）“粘合”起来，得到的模型就可以用来描述椭圆几何。
第三，最著名的事情是，克莱因在德国的一个小镇埃尔朗根（Erlangen）发表了一个里程碑式的演讲，史称埃尔朗根纲领（Erlangen program）。报告中，他把几何学用变换群的思想重新组织了起来，使得当时层出不穷的各种几何完整的统一了起来。这种统一的思想让人们对几何学从整体上有了全新的认识。也正是他，把罗巴切夫斯基几何命名为“双曲几何”，把黎曼发现的另一种几何命名为“椭圆几何”。
经过了将近100年的时间，非欧几何从被发现，到人们逐渐掌握，再到开花结果直到出现统一的理论，一切都是那么美好而和谐。我们的故事似乎应该讲完了。可人们不知道的是，就在他们身边，一场更大更强的几何学风暴正在孕育。。。
是时候让我们聊聊高斯了。
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